量子态不可克隆定理不成立的证明

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  —— 量子通讯无条件保密的物理学基础不所处 ——  

 梅晓春1       李小坚2  

(1)福州原创物理研究所                  (2)北方工业大学自动化系

  内容摘要 量子通信被认为具有绝对的保密性,它的物理学基础是“量子态不可克隆定理”。本文证明这种 定理不成立,理由如下。1. 该定理假设任意量子态总要都不能不能 克隆的,证明原先量子态可克隆的条件为,实际上认为量子态都不能不能 克隆,“量子态不可克隆定理”名不符人太好。本文进一步证明,所处无穷多的满足这种 一一二个条件,后后 “量子态不可克隆定理”应当改为“量子态可克隆定理”。2.表示一一二个正交的量子态都不能不能 克隆,对于的非正交态的情况表,现有理论没办法 讨论,本文全部讨论这种 情况表。3. 考虑量子力学波函数的完备性,非正交态都不能不能 按照厄密算符的本征态展开,本文证明对于任意本征态数的量子态,总都不能不能 找到无穷多个非正交的波函数,使它们满足可克隆的条件。4. 量子克隆算符对波函数叠加态作用,会原因分析分析自相矛盾的结果。本文证明,其根源在于量子克隆算符的定义是自相矛盾的。它不改变任意波函数的形式,却都不能不能 将纯态波函数变去掉 任意波函数,原先的算符可能所处。5. 量子态克隆的真正大大问题没办法 于理论上是算不算不让能不能 克隆,而在于克隆过程中线性叠加态不可输入和不可输出,这种 可能与“量子态不可克隆定理”的证明无关。6. 大量实验证明,微观粒子的单量子态总要都不能不能 克隆的,说量子态不可克隆毫无道理。7.在量子通讯是实际操作过程中,信息发送方和接受方输入和输出的总要光子的单个偏振态,它们总要都不能不能 克隆的。由此本文的结论是,“量子态不可克隆定理”是一一二个概念含糊、矛盾重重、全部错误的命题。建立在这种 定理的基础上,量子通讯所谓的无条件保密性根本不所处。

  关键词 量子力学,量子通讯,克隆算符,量子态不可克隆定理,BB84协议

  一. 量子通讯与“量子态不可克隆定理”

  量子通信被认为具有绝对的保密性,其物理学基础是所谓的“量子态不可克隆定理”。Wootters和Zurek 1982年在《Nature》上发表文章,提出这种 著名的定理【1】。然而仔细考察该定理的证明过程和结论,作者发现所处一些大大问题。“量子态不可克隆定理”实际上不成立,量子通信的绝对保密性的物理学基础是不所处的。

  从“量子态不可克隆定理”的证明过程都不能不能 看出,该定理的前提是假定任意量子态都都不能不能 克隆。后后 给出另外一一二个量子态都不能不能 克隆的条件为,不满足这种 个条件的态才是不可克隆的。代表一一二个态正交,表示一一二个态不正交,它们总要都不能不能 克隆的。后后 “量子态不可克隆定理”名不符人太好!本文进一步证明,按照Wootters和Zurek的克隆算符定义,对于任意量子态,所处无穷多的满足的条件。对于的情况表,现有理论认为它原因分析分析,是一一二个平庸解,没办法 讨论价值。本文指出从不一定原因分析分析,并对这种 情况表进行全部讨论。考虑量子力学厄密算符本征函数的完备性,任意定态波函数都都不能不能 表示为厄密算符本征态波函数的叠加。本文证明对于叠加态数目的波函数,总都不能不能 找到无穷多个与不正交的,使它们满足的可克隆条件。后后 “量子态不可克隆定理”实际上应当改成“量子态不可克隆定理”。

  一些文献又把该定理称为“未知量子态不可克隆定理”,然而对那先 是未知的量子态,却没办法 明确的说明【2】。事实上,“未知量子态不可克隆定理”的说法在字面上可是 有大大问题的,可能一一二个量子态是未知的,不知道原型和模板,又为什么在么在不让能不能 克隆呢?比如对于叠加态,可能已知,这种 态就已知。可能任意,这种 态就未知。要克隆这种 态首先时需知道。这是先决条件,未知态不可克隆的说法毫无意义。事实上如本文证明,按照Wootters对克隆算符的定义,即使未知,仍然都不能不能 找到无穷多的,使之满足的条件,后后 “未知量子态不可克隆定理”的说法也是不成立的。

  将量子克隆算符对波函数叠加态作用,会原因分析分析自相矛盾的结果。本文指出其根源在于量子克隆算符的定义是自相矛盾的。将量子态克隆算符作用在任意波函数上,其形式不变。将这种 算符作用在一一二个纯态上,却都不能不能 将它变成任意波函数,原先的算符是不所处的。事实上量子克隆算符可是 一一二个抽象符号,没办法 具体形式。可能其定义是自相矛盾的,在数学上根本可能找到它的具体形式。而在量子力学中,任何算符都时需有它的具体形式。

  事实上,量子态克隆的真正大大问题没办法 于理论上是算不算不让能不能 克隆,而在于克隆过程怎么输入和输出线性叠加态。按照量子力学的测量理论,测量原因分析分析波函数崩塌。量子态克隆过程首先时需输入量子态,而输入过程也都不能不能 看成并都是测量操作。后后 量子叠加态是不可输入的,可能一旦进行操作,叠加态就会被破坏。在这种 意义上,谈论线性叠加态的克隆是没办法 意义,但它与“量子态不可克隆定理”的证明无关。

  在实验方面,“量子态不可克隆定理”显然与事实不符。大量实验证明,微观粒子的单量子态总要都不能不能 克隆的。激光器不但不让能不能 克隆单个光子,后后 不让能不能 大批量地克隆各种光子。连续光谱激光器不但都不能不能 克隆并都是单光子,后后 都不能不能 通过调整参数,来大量克隆各种各样的光子。在物理学中,量子态的制备早就可能是一一二个相当成长期是什么期期是什么的句子的学科。

  在量子通讯是实际操作过程中,信息发送方和接受方每次输入和输出的总要光子的单个偏振态,而总要所谓的线性叠加态,它们总要都不能不能 克隆的。然而“量子态不可克隆定理”给人的一般印象却是,任何量子态总要可克隆,这是不真实的。

  实际量子态的克隆涉及相互作用,是一一二个非常繁杂的过程,总要用Wootters定义的这种 简单算符就能表示的。“量子态不可克隆定理”是一一二个概念含糊、矛盾重重、全部错误的命题,不但毫无意义,后后 严重误导物理学理论和量子技术的发展。

  后后 本文的结论是,“量子态不可克隆定理”不成立,量子通讯所谓的具算不算条件保密性的物理学基础不所处。

  二.“量子态不可克隆定理”的证明

  “量子态不可克隆定理”的证明人太好非常简单,以下介绍P. Yuen 和 M. D′Ariano 的推广证明【2】。 假设作为待克隆模板的粒子所处任意态,另外一一二个粒子所处标准的纯态。Wootters和Zurek引入一一二个克隆量子态的幺正算符,它对的作用是:

至于的具体形式怎么,Wootters没办法 说明,非要根据具体的情况表选取。与图片复印的过程比较,算符为宜复印机,为宜要复印的图片,为宜白纸。

  采用相同的纯态,将克隆算符对另外一一二个任意态作用,按照(1)式总要:

将(2)和(3)式的两边取内积,得:

考虑到,从上式得到:

(4)式有一一二个解,。可能这种 个条件满足,就都不能不能 克隆。可能不满足,就不可克隆。现有理论讨论了的情况表,对的情况表没办法 讨论,本文重点对的情况表进行讨论。

  以上证明的前提是,假定任意量子态都不能不能 克隆。即所处一一二个算符,都不能不能 把纯态变成态,后后 讨论在那先 情况表下都不能不能 克隆的大大问题。原因分析分析正交态是都不能不能 克隆的,用通俗的语言说,假设有一台量子克隆机,它不让能不能 克隆 态,就一定不让能不能 克隆与态正交的态,但非要克隆与不正交共同又有的态。

  后后 按照这种 证明,量子态总要不都不能不能 克隆,可是 有选取性地克隆。对于不同的量子态,时需不同的克隆机,朋友 都不能不能 制造不同的克隆机,来克隆不同的量子态。后后 所谓的“量子态不可克隆定理”名不符人太好,实际上应当改成“通用量子态克隆机不所处定理”。

  三.“量子态不可克隆定理”不成立的证明

  3. 1 量子态克隆算符在数学上不成立

  按照(2)式的定义,克隆算符对波函数的作用满足以下关系:

这原因分析分析不改变任意波函数,即,但却都不能不能 将纯态波函数变成,即原因分析分析是不变算符,即。可能也是任意的,与都不能不能 全部不一样,原因分析分析总要不变算符,应当将写为:

可能,总要,后后 量子克隆算符的定义自相矛盾,是可能所处的。

  朋友 都不能不能 举一一二个具体的例子。假设要克隆氢原子的第一激发态,一一二个合理的做法可是 ,把氢原子的基态波函数看成是纯态,即令。它们的具体形式是:

可能式正交的,按照(2)的定义,是都不能不能 克隆的,克隆过程是:

显然可能找到一一二个算符,能使 共同成立,后后 (8)式可能成立。

  事实上,量子力学波函数的数学形式都比较繁杂。要将一一二个纯态波函数变成另外一一二个波函数保持不变,又都不能不能 将任意纯态波函数变成态波函数。在这种 算符基础上证明“量子态不可克隆定理”是没办法 意义的。

  3. 2 量子态克隆算符在物理上不成立的例子

  一般而言,(1)式在物理上也可能不成立。举一一二个简单例子,氢原子的跃迁过程满足一些禁戒规则,比如角量子数和磁量子数时需满足。后后 从基态到诸如的激发态是可能的。然而是正交的,按照(4)式,令的态是都不能不能 克隆的。

  事实上,量子态的克隆是一一二个非常繁杂的大大问题,根本可能通过(1)式那样简单定义,以及(4)式那样简单的结果就能判断的。建立在Wootters定义的克隆算符的基础上的,所谓的“量子态不可克隆定理”毫无意义。

  3. 2 所处无穷多的可克隆非正交态

  以下证明对于,仍然都不能不能 有。按照(4)式,这种 非正交态仍然都不能不能 克隆。量子力学用厄密算符代表力学量,将它作用于波函数的某个定态,得到:

常数被称为本征值。量子力学厄密算符有以下一一二个基本性质【3】:

  1. 厄密算符具有选取本征值的本征函数所处正交性。设对应的本征值互不相等,则有

  2. 厄密算符本征函数具有完备性。数学上都不能不能 严格证明,任意量子力学定态波函数都都不能不能 表示为厄密算符本征态波函数的叠加,即:

  按照以上一一二个性质,朋友 来重新讨论“量子态不可克隆定理”的证明。将系统的任意一一二个波函数写成为:



 

考虑到波函数的归一化,展开系数满足条件:

将(12)式代入(4)式,得:

可能,(13)式变成:

要使(14)式成立,时需:

或:

(15)式表示正交,(16)式表示不正交。比如时,考虑到系数可能是复数,(15)实际上应当写成:

假设已知,则已知。上式剩余一一二个方程,有一一二个未知数,唯一选取。解方程得。后后 对于的情况表,对于任意波函数,总都不能不能 找到另外一一二个波函数与它正交。按照Wootters对克隆算符的定义,它们总要都不能不能 克隆的。

  对于的情况表,(15)式变为:

假设已知,则已知。上式剩余一一二个方程,选取一一二个未知数,总要无穷多种方法。也可是 说对于,都不能不能 算不算穷多个与之正交,因而通用量子态克隆机所处。

  对于不正交,的情况表,时,(14)式变成:

假设已知,已知。从剩余的一一二个方程解得,后后 非要才可能。原因分析分析这种 态都不能不能 克隆,但一台克隆机非要克隆一一二个量子态。

  对的情况表,比如,(18)式变成:

假设已知,,则已知。上式剩余的一一二个方程,选取一一二个未知数,原则上算不算穷多个解。可能它们都不让能不能 满足(4)和(16)式,按照定义总要都不能不能 克隆的。

  以下举一一二个具体例子,比如,从第一一二个式子得到。选取,按照(20)式,可得以下波函数:

这种 个波函数是非正交的,但仍然满足可克隆条件,都不能不能 用同一台克隆机克隆。

  任意选取的值,都不能不能 得到任意多个,都能满足(16)式。由此证明在的情况表下,“量子态不可克隆定理”不成立。朋友 总都不能不能 找到无穷多的,使它们满足可克隆的条件。

  3. 3 克隆算符作用于线性叠加态原因分析分析矛盾

  按照Wootters的证明,线性叠加态是都不能不能 克隆的。在(4)式的导出过程中,都不能不能 是单态,也都不能不能 是叠加态。然而对于叠加态,按照(1)式的定义会产生矛盾。以叠加态为例,将克隆算符作用其上,都不能不能 得到并都是结果。第并都是是克隆算符先对单个态作用,即:

第二种克隆算符只对整个叠加态作用,即:

(23)和(24)式相互矛盾。文献【4】认为(23)式是都不能不能 实现的,理由是基矢都不能不能 克隆的。(24)式则是不可实现,但没办法 说明原因分析分析。

  这种 看法人太好一阵一阵道理,但没办法 找到大大问题的本质。可能按照克隆算符的定义,以上并都是计算方法总要合理的。朋友 非要说哪并都是对哪并都是错,从逻辑上也都不能不能 认为(24)式没办法 错。事实上,(11)、(21)和(22)式总要叠加态,按照前文对(4)式的讨论,它们总要都不能不能 克隆的。

  以下来讨论(24)式可能成立的原因分析分析。都不能不能 将(24)式看成克隆算符作用在波函数上得到的新的波函数,令:

考虑到波函数是不可测量的,不让能不能 测量的是波函数的平方,总要:

可见按照(24)式,新的波函数的归一性被破坏。然而按照量子力学,对波函数进行变换是可能改变归一性的。事实上将(23)式进行同样的变换,新的波函数归一性仍然所处。产生大大问题的本质原因分析分析在于,如前文所述,克隆算符的定义(1)式并都是可是 矛盾的。这种 矛盾必然要在具体过程中体现出来,对波函数叠加态的作用可是 一一二个例子。

  四.波函数的线性叠加态不可输入和不可输出

  讨论线性叠加态的克隆大大问题,时需先了解线性叠加态的真内部理意义。量子力应学一一二个统计理论,对于叠加态,量子力学的几率统计解释认为,叠加态由一一二个态组成,出先的几率是态出先的几率是。它从不原因分析分析一一二个态都不能不能 共同出先,可是 认为在任意时刻只出先其中的一一二个态。

  比如对于氢原子中的一一二个电子,它可能共同即所处基态,又所处第一激发态。这种 个情况表所处能量差,从基态进入激发态是时需能量输入的。朋友 可能共同克隆氢原子的这种 个态,非要克隆其中的一一二个态。在这种 意义上,谈论线性叠加态的克隆并都是可是 没办法 意义的。

  可能按照量子力学的哥本哈根解释,即所谓的量子力学测量理论,对线性叠加态(8)进行测量,会使波函数崩塌到其中的一一二个态。比如对于叠加态,任何单次测量非要得到其中的一一二个态,可能共同得到一一二个态,这与量子力学的统计解释结果是一样的。

  后后 量子态克隆真正的大大问题在于,波函数的线性叠加态即无法输入也无法输出。从实际操作的强度,为了不让能不能 克隆一一二个量子叠加态,首先时需进行测量,以了解这种 态的情况表。克隆过程时需输入和输出量子态,而输入和输出也都不能不能 看成是并都是测量。可能测量原因分析分析叠加态的崩塌,量子叠加态的输入和输出自然是可能的。

  在实际的过程中,量子态的克隆涉及繁杂的相互作用,总要用(1)式那样简单的算符就能表示。所谓的“量子态不可克隆定理”所处太大的大大问题,实际上不成立。考虑到单个量子态实际上总要都不能不能 用克隆的,朋友 应当说:

  量子力学定态波函数(8)式中,任何具有选取本征值的单态总要可克隆的。对量子定态波函数的叠加态,每一次克隆将得到其中的一一二个单态,多次克隆结果得到态的几率为

  非要原先理解,不能不能 与量子力学的统计性质和实际物理过程一致。

  五.结论:哥本哈根解释误导量子技术

  Wootters的定义克隆算符并都是可是 自相矛盾的。将克隆算符作用在任意波函数上,该波函数变成不变。作用在任意纯态波函数上,却都不能不能 将变成任意。这种 自相矛盾的算符在数学上是可能所处的,原因分析分析“量子态不可克隆定理”成为一一二个含糊不清,充满矛盾和错误的命题。

  按照Wootters对克隆算符的定义,满足的量子态总要都不能不能 克隆的。而在实际的过程中,满足这种 个条件的量子态却从非要够克隆。后后 “量子态不可克隆定理”不所处。

  可能考虑量子力学波函数的完备性,任意波函数都能写成本征态波函数的叠加。对于本征态数的任意量子力学波函数,总都不能不能 找到一一二个波函数与它正交。对于的任意量子力学波函数,除了都不能不能 找到无数的波函数与它正交外,还都不能不能 找到无数个波函数,使它们的积分满足。后后 “量子态不可克隆定理”实际上应当称为“量子态可克隆定理”。

  将克隆算符作用到量子叠加态,会原因分析分析矛盾的结果。这从不原因分析分析叠加态不可克隆,可是 克隆算符的定义并都是有大大问题。量子态克隆的真正大大问题在于,叠加态的输入和输出是可能的,这种 可能与Wootters的证明无关。

  在本文初稿完成后,作者看多中科院理论所孙昌璞院士的一篇文章,题目为“量子力学的诠释大大问题”【5】。该文文摘中说:“对于量子力学的诠释…朋友 迄今为止并未形成共识。量子力学发展的这种 二元情况表不仅带来认识论方面的误导,后后 方法备受争议的哥本哈根诠释建立的量子技术会有相对根本性的大大问题”,物理学家时需“通过进一步澄清量子力学诠释中的基本概念,解决量子观念的滥用原因分析分析的认识论上的大大问题和量子技术误入歧途”。

  作者非常认同孙昌璞先生的这种 看法。早期的量子力学哥本哈根解释纯粹是一一二个科学哲学大大问题,但现在它可能总要纯理论大大问题。它可能越界进入技术领域,后后 深入地影响到量子技术,严重地误导了量子技术的发展和应用。从对贝尔不等式的实验检验,到量子通信和量子计算机,到处都都不能不能 看多哥本哈根解释的误导带来的恶果。

  哥本哈根解释有一一二个奇怪的说法,即一一二个量子态在没办法 被测量后后 朋友 对它那先 可是 能说。它是所处叠加态,而总要选取态。波尔有句名言:一一二个大大问题在没办法 被观察后后 非要说是一一二个大大问题。具体地说,对于一一二个自旋为的粒子,在没办法 进行测量后后 ,非要说它的自旋为。可能按照波函数的叠加公式,它或许可能所处态。再比如对于一一二个水平偏振的光子,在没办法 被测量后后 ,朋友 非要说它是水平偏振的,可能按照波函数的线性叠加公式,它可能是垂直偏振。这种 看法与实际全部不符,它可能破坏物理守恒规律,原因分析分析荒诞的结果。

  比如甲向乙发射一一二个自旋为粒子,乙方接受到的一定是一一二个自旋为的粒子。可能角动量守恒,粒子的自旋在运动过程中是可能改变的。同样,甲向乙发射一一二个水平偏振的光子,可能乙用水平偏振器测量,这种 光子总要通过,说明这种 光子的偏振在运动过程中没办法 改变。原因分析分析是光的偏振方向可是 电场振动方向,光在真空中的传播时电场的方向不让改变。可能用非水平偏振器来测量,光子以一定的概率通过。原因分析分析是偏振器使光子的电场方向改变,而总要该光子没办法 选取的偏振。

  按照量子力学的统计系综解释,波函数是大量粒子的统计平均结果。比如代表量子系综,代表系综里的一一二个系统。在任意时刻,量子体系要么所处态,要么所处情况表,可能即所处情况表又所处情况表,也可能共同所处态。后后 这并都是解释是等价的,可是 说法不同罢了。按照系综理论,谈论量子力学线性叠加态的克隆也是没办法 意义。

  事实上,量子通讯中光子的发射方发射的总要单量子态,可能是叠加态。接收方接收到的也是单量子态,可能是叠加态。“量子态不可克隆定理”是一一二个全部不靠谱的理论,它把克隆过程用一一二个没办法 简单的算符来描述,不涉及任何相互作用,与实际过程全部不符。在真实的物理学中,要克隆一一二个量子态涉及繁杂的相互作用。绝不像复印一张图片一样,把原稿贴到 复印机,一按键盘就了事。在那先 基本大大问题没办法 搞清楚后后 ,就声称量子态不可克隆。甚至明明知道单量子态和正交态都不能不能 克隆,明明知道激光器可是 光子克隆机,却仍然声称量子态不可克隆,是非常荒唐的。

  现有的量子信息理论建立在哥本哈根解释基础上,认为测量后后 微观粒子都不能不能 共同所处多重情况表,用测量原因分析分析波函数崩塌来解释一切。以这种 全部错误的理论为基础,技术开发必然原因分析分析失败。物理学家们耗尽资源和精力,最终都将无功而返。量子通信是一一二个典型的例子,声称量子通讯具有绝对的保密性,把人类保密通讯原先重要的事情寄托在这种 全部不靠谱的定理之上,并草率地把量子通讯进行产业化,是对科学和社会不负责任的行为。

  量子计算机则可能是另外一一二个例子,正是考虑到量子态的线性叠加,才有计算加速的可能。按照量子力学的统计系综解释,任哪天刻一一二个微观粒子非要所处某个选取的情况表,可能所处叠加态,线性叠加可是 并都是统计平均的表示方法。按照量子力学的测量理论,任哪天刻一一二个微观粒子都不能不能 所处叠加态,但测量原因分析分析波函数崩塌。后后 叠加态既非要输入可是 能输出,量子计算机就可能是一一二个空头理论上的东西,在现实中难以实现。这种 大大问题例如与量子计算机的消相干大大问题,但又有不同。从技术上说消相干是可能的,但叠加态的输入和输出是可能的。这是量子力学基本原理决定的,对测量输入输出叠加态的技术能力的限制。

  目前物理学家声称可能做出量子计算机,后后 总要真正的量子叠加态计算机,是值得考虑的。朋友 可能可是 利用微观粒子的一一二个分立情况表做成的,与传统电子计算机在本质上是一样的计算机。它可是 对传统电子计算机的模拟,而总要真正利用了叠加态,不让能不能 进行叠加态并行计算的量子计算机。可是 量子计算机专家可能还没办法 认识到这种 点,可能说一些人知道这种 点,但不愿意说出来罢了。关于这种 大大问题,作者将另文讨论。

  参考文献

  1. W. K. Wooters, W. H. Zurek, A single quantum can not be cloned, Nature, 1982, 299,802-803.

  2. 尹浩,韩阳等,量子通讯原理和技术,电子工业出版社,2013,p.54.

  3. 周世勋,量子力学,复旦大学出版社,1961, p. 337.

  4. 张永德,量子信息物理原理,科学出版社,806年,p. 187.

  5. 孙昌璞, 量子力学的诠释大大问题,物理,2017年,46卷,8期,p.481~ 496.